Eigenvalores y eigenvectores

Lección completa

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Introducción: las flechas que no se tuercen ▶ 00:00

En la lección uno vimos que las matrices mueven el plano: lo estiran, lo giran y lo inclinan. Hoy vamos a buscar algo escondido dentro de ese movimiento. Imagina muchas flechas que salen del centro, en todas las direcciones. Cada flecha vive sobre su propia línea, como un tren sobre su vía.

Ahora la matriz mueve el plano. Casi todas las flechas se tuercen y se salen de su vía. Pero algunas flechas muy especiales se quedan en su línea. Solo se estiran o se encogen.

Antes de seguir, haz una predicción. ¿Cuáles flechas crees que van a sobrevivir? Pausa el video si quieres, y apuesta por una dirección. Esas flechas tienen un nombre raro, pero muy famoso, se llaman eigenvectores.

Y hoy vas a aprender a encontrarlas.

Las flechas especiales ▶ 00:56

Vamos a mirarlo con calma. Aquí está nuestra matriz: dos y uno arriba, uno y dos abajo. Dibujo una flecha que apunta a la derecha, y marco su línea con una raya suave. Ahora aplico la matriz.

La flecha se inclina hacia arriba y se sale de su línea, así que esa no sobrevive. Pruebo con una flecha que apunta hacia arriba. También se tuerce, ahora hacia la derecha. Pero mira esta flecha en diagonal, la que apunta a uno y uno.

La matriz la lleva a tres y tres. ¡Sigue en la misma línea! Solo se hizo tres veces más larga. Y esta otra flecha, la que apunta a uno y menos uno, ni siquiera cambia de tamaño, se queda igualita.

Estas flechas que no se tuercen se llaman eigenvectores. Y el número que dice cuánto se estiran se llama eigenvalor. Aquí los eigenvalores son tres y uno. En español también se dicen vectores propios y valores propios, porque son las direcciones propias de cada matriz.

Atención, dato curioso: eigen es una palabra alemana que significa propio. El matemático David Hilbert la usó así en el año mil novecientos cuatro.

Estirar, voltear, encoger, aplastar ▶ 02:25

El eigenvalor puede ser muchos tipos de número, y cada uno cuenta una historia distinta. Si el eigenvalor es dos o tres, la flecha se estira. La matriz la hace más larga, sin sacarla de su línea. Si el eigenvalor es negativo, por ejemplo menos uno, la flecha se voltea.

Sigue en la misma línea, pero ahora apunta al revés, como en un espejo. Si el eigenvalor está entre cero y uno, por ejemplo un medio, la flecha se encoge. Queda a la mitad de su tamaño. ¿Y si el eigenvalor es cero?

Entonces la flecha se aplasta hasta quedar en un solo punto. ¿Te acuerdas de la lección dos? Cuando el determinante es cero, el plano se aplasta. Pues eso pasa justo cuando la matriz tiene un eigenvalor igual a cero.

Hay una dirección entera que desaparece. Así que el eigenvalor es como una etiqueta en cada dirección especial. Te dice si la flecha crece, se voltea, se encoge o desaparece.

La matriz actúa como un número ▶ 03:38

Ahora escribamos todo esto en una sola línea. La matriz por la flecha es igual a lambda por la flecha. Lambda es una letra griega, y aquí es solo el nombre del eigenvalor, el número que estira. Lee la línea con calma.

A la izquierda, una matriz completa trabajando sobre la flecha. A la derecha, un simple número multiplicando la misma flecha. Y los dos lados dan lo mismo. En esa dirección, la matriz actúa como un simple número.

Esa es la gran idea de hoy. Una matriz puede ser complicada, con muchos números mezclados. Pero si miras justo en sus direcciones especiales, todo se vuelve fácil. Solo hay que multiplicar por un número.

Por ejemplo, con nuestra matriz, la flecha uno y uno da tres y tres. Es lo mismo que multiplicar la flecha por tres. Hay una regla importante: la flecha no puede ser cero. La flecha cero siempre se queda en su lugar, así que no cuenta.

Cómo encontrar los eigenvalores ▶ 04:52

¿Y cómo encontramos los eigenvalores sin probar flechas al azar? Aquí entra el determinante de la lección dos. Si la matriz por la flecha es igual a lambda por la flecha, podemos pasar todo al mismo lado. Queda la matriz menos lambda, aplicada a la flecha, igual a cero.

Para restar lambda, se lo quitamos solo a la diagonal: dos menos lambda arriba a la izquierda, y dos menos lambda abajo a la derecha. Esa nueva matriz manda una flecha que no es cero hasta el punto cero, o sea, la aplasta. Y una matriz que aplasta tiene determinante cero. Entonces la receta es esta: busca los lambdas que hacen cero el determinante.

Hagamos la cruz de la lección dos. Dos menos lambda, por dos menos lambda, menos uno por uno, igual a cero. Eso quiere decir que dos menos lambda, multiplicado por sí mismo, tiene que dar uno. ¿Qué números multiplicados por sí mismos dan uno?

El uno, y el menos uno. Si dos menos lambda es uno, entonces lambda es uno. Si dos menos lambda es menos uno, lambda es tres. ¡Los eigenvalores son tres y uno!

Justo los que vimos en el dibujo.

Encontrar las flechas ▶ 06:20

Ya tenemos los números. Ahora busquemos las flechas. Empezamos con lambda igual a tres. Le restamos tres a la diagonal, y queda menos uno y uno arriba, uno y menos uno abajo.

La fila de arriba dice que menos la primera parte, más la segunda parte, da cero. O sea, las dos partes de la flecha tienen que ser iguales. Uno y uno, dos y dos, cinco y cinco. Todas esas flechas están en la misma línea diagonal.

Esa es la dirección del eigenvalor tres. Ahora con lambda igual a uno. Le restamos uno a la diagonal, y quedan puros unos. La fila dice que la primera parte más la segunda da cero.

Entonces una es la contraria de la otra: uno y menos uno. Comprobemos con la matriz por uno y menos uno: dos menos uno, uno. Uno menos dos, menos uno. ¡Sale uno y menos uno otra vez!

La flecha no cambió nada, porque su eigenvalor es uno. Y fíjate en algo bonito: las dos líneas especiales forman una cruz perfecta, en ángulo recto. Eso pasa con las matrices simétricas como esta.

Un giro: nadie se queda ▶ 07:43

Ahora un momento divertido. ¿Qué pasa con una matriz que solo gira el plano un cuarto de vuelta? Piénsalo antes de ver la respuesta. ¿Hay alguna flecha que se quede en su línea?

Mira cómo gira, la flecha de la derecha termina apuntando hacia arriba. La de arriba termina apuntando a la izquierda. ¡Todas las flechas se tuercen! Ninguna se queda en su camino.

Si hacemos la receta del determinante, sale que lambda por lambda tiene que ser menos uno. Pero ningún número normal multiplicado por sí mismo da negativo. Soy una computadora, busqué un número que funcione, y no encontré ninguno. Así que un giro no tiene eigenvectores reales.

Nadie se queda en su línea. Los matemáticos sí encuentran respuestas con los números complejos, pero esa es una aventura para otro día.

Repetir muchas veces ▶ 08:37

¿Para qué sirve todo esto? Para empezar, para repetir una matriz muchas veces. Toma nuestra matriz y aplícala a una flecha cualquiera. Luego otra vez, y otra vez, y otra vez.

Mira lo que pasa. La flecha se va girando poco a poco hacia la diagonal. ¿Y por qué pasa eso? Porque en la diagonal cada paso multiplica por tres, y en la otra dirección solo por uno.

Después de diez pasos, tres por sí mismo diez veces da casi sesenta mil, y la otra parte se queda en uno. Cuando repites una matriz, gana el eigenvalor más grande. Esto explica cómo crece una familia de conejos. Cada mes, las parejas adultas tienen crías, y las crías se hacen adultas.

Esa regla se escribe con una matriz. Su eigenvalor más grande es uno coma seis uno ocho, el famoso número de oro. Por eso, después de unos meses, la población crece casi exactamente por ese número cada mes. Y si el eigenvalor más grande es menor que uno, pasa lo contrario: todo se apaga poco a poco.

El mundo real y la IA ▶ 09:58

Los eigenvalores están por todas partes. Empecemos con un puente. Cada puente tiene formas propias de vibrar, y cada forma tiene su ritmo. Esas formas son eigenvectores.

Los ingenieros las calculan para que el viento o la gente caminando no empujen el puente justo a su ritmo. Otro ejemplo famoso es el buscador de Google. En sus inicios, cada página web votaba por las páginas a las que enlazaba. La lista de importancia de todas las páginas es un eigenvector de una matriz gigante, y se llama PageRank.

Y en la inteligencia artificial también aparecen. Imagina una nube de puntos con muchos datos. Hay un método que se llama análisis de componentes principales. Busca las direcciones donde los datos se reparten más.

Esas direcciones son eigenvectores, y sirven para resumir datos enormes en pocas flechas. Y cuando una red neuronal aprende, multiplica por matrices una y otra vez. Si los eigenvalores son muy grandes, los números explotan. Si son muy pequeños, se apagan.

Por eso cuidar los eigenvalores ayuda a que el entrenamiento sea estable.

Repaso ▶ 11:20

Ahora repasemos todo. Uno: casi todas las flechas se tuercen cuando una matriz mueve el plano, pero los eigenvectores se quedan en su línea. Dos: el eigenvalor dice cuánto se estiran, se voltean, se encogen o se aplastan. Tres: en esas direcciones, la matriz actúa como un simple número.

Cuatro: para encontrarlos, buscamos dónde el determinante de la matriz menos lambda es cero. Y cinco, al repetir una matriz muchas veces, gana el eigenvalor más grande. Te dejo una pregunta para pensar. La matriz tiene dos y cero arriba, cero y cinco abajo.

¿Cuáles son sus eigenvalores, y hacia dónde apuntan sus eigenvectores? En la próxima lección vamos a hablar de los espacios vectoriales y las bases: cómo elegir las mejores flechas para describir todo el plano. Gracias por aprender conmigo. Nos vemos en la lección seis.