Espacios vectoriales y bases

Lección completa

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Introducción: ¿bastan dos flechas? ▶ 00:00

En la lección cinco buscamos flechas especiales que no se tuercen. Hoy las flechas van a hacer algo distinto: van a trabajar en equipo. Aquí tienes el plano, lleno de puntos, hasta donde alcanza la vista. Y aquí tienes solo dos flechas.

Puedes estirarlas, encogerlas, voltearlas y sumarlas, todas las veces que quieras. Antes de seguir, haz una predicción. ¿Con solo estas dos flechas puedes llegar a cualquier punto del plano? ¿O hay puntos que se quedan fuera de tu alcance para siempre?

Pausa el video si quieres, y apuesta: sí o no. La respuesta tiene un nombre muy importante en matemáticas. Se llama base, y hoy vamos a descubrir qué es.

Flechas como recetas ▶ 00:50

Empecemos por lo más simple. Una flecha es un vector, una lista de números escrita en una columna parada, como en la lección uno. La flecha tres y dos dice: camina tres pasos a la derecha y dos pasos hacia arriba. Con las flechas podemos hacer solo dos cosas, pero las dos son muy poderosas.

La primera es estirarlas. Si multiplicas una flecha por dos, se hace el doble de larga, y si la multiplicas por menos uno, se voltea. La segunda es sumarlas. Pones una flecha, y donde termina, empiezas la otra.

Ahora junta las dos ideas. Tomas un poco de una flecha, un poco de la otra, y las sumas. Es como mezclar pintura. Dos cucharadas de azul y una de amarillo te dan un verde concreto.

O como una receta con solo dos ingredientes. Cambias las cantidades, y sale un plato distinto. Mezclar flechas así se llama una combinación lineal. Por ejemplo, dos veces la flecha roja más una vez la flecha azul nos lleva justo a este punto.

Los números de la receta, el dos y el uno, son las cantidades de cada ingrediente.

Todo lo que puedes alcanzar ▶ 02:18

Volvamos a la pregunta del principio. Con dos flechas, ¿qué puntos puedes alcanzar con todas las recetas posibles? Probemos: cambio las cantidades poco a poco, y voy marcando cada punto donde llego. Mira cómo los puntos se van regando por todas partes.

Arriba, abajo, a la izquierda, a la derecha. ¡La respuesta es sí! Dos flechas que no son paralelas alcanzan todo el plano. A todo lo que puedes alcanzar con tus flechas, se le llama espacio generado.

En inglés se llama span. Pero cuidado, porque hay una trampa. ¿Qué pasa si las dos flechas apuntan en la misma dirección? Por ejemplo, la flecha uno y dos, y la flecha dos y cuatro, que es la misma, pero el doble de larga.

Ahora mezcles como mezcles, nunca te sales de una sola línea. ¿Te acuerdas de la lección dos? Si pones esas dos flechas como columnas de una matriz, el determinante da cero. El plano se aplasta en una línea, y eso es justo lo que pasa aquí.

Dos flechas paralelas solo alcanzan una línea.

Flechas que sobran ▶ 03:35

Ahora imagina que tienes tres flechas en el plano. Una hacia la derecha, una hacia arriba, y una en diagonal, que apunta a uno y uno. ¿La tercera flecha te ayuda a llegar a algún lugar nuevo? No, porque la diagonal es solo la suma de las otras dos.

Una a la derecha, más una hacia arriba. Es como tener una receta que pide café con leche, cuando ya tienes café y ya tienes leche. Esa flecha sobra, no agrega nada que no tuvieras antes. Cuando una flecha se puede hacer mezclando las otras, decimos que las flechas son linealmente dependientes.

Y cuando ninguna se puede hacer con las demás, decimos que son linealmente independientes. Cada flecha independiente aporta una dirección nueva, algo que las otras no pueden hacer. Y aquí va una regla curiosa del plano. En el plano, nunca puedes tener tres flechas independientes.

Con dos ya llegas a todas partes, así que la tercera siempre sobra.

Base y dimensión ▶ 04:46

Ya tenemos todas las piezas para la gran idea de hoy. Una base es un equipo de flechas que alcanza todo, sin que sobre ninguna. Tiene que cumplir dos cosas. Primero, que puedas llegar a cualquier punto.

Segundo, que ninguna flecha sea una mezcla de las otras. ¿Y cuántas flechas tiene una base del plano? La respuesta es siempre dos. Ese número se llama la dimensión.

El plano tiene dimensión dos, porque cualquier base suya tiene justo dos flechas. La base más famosa es la de siempre: una flecha de largo uno hacia la derecha, y otra de largo uno hacia arriba. En los libros, estas dos flechas se llaman i y jota. Con ellas, el punto tres y dos es muy fácil.

Tres veces la flecha de la derecha, más dos veces la flecha de arriba. Por eso escribimos los puntos con dos números. Esos números son la receta, usando la base de siempre. Pero no es la única base posible.

De hecho, hay infinitas bases para el mismo plano.

Mismo lugar, distinta dirección ▶ 06:04

Elijamos otra base: la primera flecha apunta a dos y uno. La segunda apunta a uno y uno. No son paralelas, así que juntas alcanzan todo el plano. Ahora mira este punto, el cinco y tres.

¿Qué receta necesitamos con la nueva base? Haz tu apuesta antes de que te lo diga. La respuesta es dos y uno. Dos veces la primera flecha nos da cuatro y dos.

Más una vez la segunda flecha, da cinco y tres. El punto no se movió ni un milímetro. Solo cambiaron los números que usamos para describirlo. Es como decir dónde vives en dos idiomas distintos.

Mismo lugar, distinta dirección. ¿Y cómo pasamos de un idioma al otro? Con una matriz, claro. Ponemos las flechas de la nueva base como columnas, como aprendimos en la lección uno.

Esa matriz toma la receta dos y uno, y nos devuelve el punto cinco y tres en la base de siempre. ¿Y para ir al revés? Usamos el botón de deshacer de la lección tres: la matriz inversa. Aquí la inversa tiene uno y menos uno arriba, menos uno y dos abajo.

Aplicada al cinco y tres, nos da otra vez dos y uno. Una matriz te lleva de un idioma al otro, y su inversa te trae de vuelta.

Más dimensiones, otros espacios ▶ 07:35

¿Y en tres dimensiones? Ahí necesitamos tres flechas: una a la derecha, una hacia el frente y una hacia arriba. Con tres flechas independientes llegas a cualquier punto del espacio, así que la dimensión es tres. Pero aquí viene lo más sorprendente de toda la lección.

Un espacio vectorial no tiene que ser de flechas. Es cualquier bolsa de cosas que puedas sumar y estirar, siguiendo unas reglas sencillas. Los colores de una pantalla son una mezcla de rojo, verde y azul. Esas tres luces son una base.

Los polinomios también forman un espacio vectorial. Puedes sumarlos y multiplicarlos por un número. Y el sonido también. Una canción grabada es una lista enorme de números.

Soy una computadora, para mí una canción es solo una flecha gigante. Atención, dato curioso: el matemático italiano Giuseppe Peano escribió por primera vez esta definición moderna. Lo hizo en el año mil ochocientos ochenta y ocho, y hoy la usa toda la matemática.

La base de los eigenvectores ▶ 08:49

Ahora, una pregunta para ti: ¿cuál es la mejor base? Depende de lo que quieras hacer. Volvamos a la matriz de la lección cinco: dos y uno arriba, uno y dos abajo. En la base de siempre, esa matriz mezcla todo.

Cada flecha se tuerce. Pero ahora usemos como base sus eigenvectores, la flecha uno y uno, y la flecha uno y menos uno. En esa base, la matriz ya no mezcla nada. La primera flecha se estira por tres, y la segunda se queda igual.

La matriz, escrita en esa base, tiene tres y uno en la diagonal, y ceros en todo lo demás. En la base de los eigenvectores, la matriz solo estira. Elegir la base correcta convierte un problema enredado en uno facilísimo. A ese truco se le llama diagonalizar, y lo vamos a ver con calma más adelante.

Bases e inteligencia artificial ▶ 09:52

¿Y qué tiene que ver todo esto con la inteligencia artificial? Tiene que ver muchísimo. Un modelo de lenguaje guarda cada palabra como una flecha, una lista de cientos o miles de números. En inteligencia artificial, estas listas de números se llaman embeddings.

Palabras parecidas apuntan en direcciones parecidas. Gato y perro quedan cerca. Gato y tractor quedan muy lejos. Y a veces las direcciones tienen significado.

Un ejemplo famoso dice que si a rey le quitas hombre y le sumas mujer, llegas muy cerca de reina. Cada dato que mide un modelo, como el precio, el tamaño o la edad, es otra dirección del espacio. Y elegir una base es elegir el idioma con el que describes los datos. Hay un método que busca la mejor base para tus datos, donde las primeras flechas guardan lo más importante.

Se llama análisis de componentes principales, y en la lección cinco vimos que usa eigenvectores. Con una buena base, puedes resumir miles de números en unos pocos, sin perder casi nada.

Repaso ▶ 11:12

Ahora repasemos todo. Uno: mezclar flechas, estirándolas y sumándolas, se llama una combinación lineal. Dos: todo lo que alcanzas así es el espacio generado. Dos flechas no paralelas alcanzan todo el plano.

Tres: una flecha que se puede hacer con las otras sobra, y las flechas son dependientes. Cuatro: una base es un equipo mínimo de flechas que alcanza todo, y su tamaño es la dimensión. Y cinco, cambiar de base es cambiar de idioma. Una matriz con la base en sus columnas te lleva, y su inversa te trae.

Te dejo una pregunta para pensar. Las flechas uno y tres, y dos y seis, ¿forman una base del plano? En la próxima lección vamos a hablar del rango y el espacio nulo: cuántas direcciones sobreviven a una matriz, y cuáles desaparecen. Gracias por aprender conmigo.

Nos vemos en la lección siete.