Sistemas de ecuaciones

Lección completa

El texto completo de la narración del video, ordenado por capítulos. Toca ▶ para ver esa parte.

Introducción: el acertijo de la granja ▶ 00:00

En la lección tres resolvimos el acertijo de los recibos, y con la inversa encontramos los precios escondidos. Hoy vamos a aprender la herramienta general detrás de ese truco: los sistemas de ecuaciones. Y empezamos con un acertijo nuevo. Una granja tiene gallinas y vacas.

El granjero cuenta diez cabezas y veintiocho patas. ¿Cuántas gallinas y cuántas vacas hay? Pausa el video si quieres, y haz tu mejor intento. Puedes probar al azar, cinco y cinco, o siete y tres.

Pero adivinar no siempre funciona, sobre todo cuando los números son grandes. Hoy vamos a ver cómo escribir este acertijo como una balanza, cómo dibujarlo con dos líneas, cómo meterlo en una matriz, y cómo lo resuelven las computadoras de verdad. Así que prepárate, porque vamos a empezar.

La balanza ▶ 00:57

Primero, ¿qué es una ecuación? Imagina una balanza de dos platos. Una ecuación dice que los dos lados pesan exactamente lo mismo. Por ejemplo, las gallinas más las vacas es igual a diez.

A la izquierda está lo que no sabemos, y a la derecha, lo que contamos. Las cosas que no sabemos se llaman incógnitas. Aquí tenemos dos: el número de gallinas y el número de vacas. Con una sola pista no alcanza.

Si solo sé que hay diez cabezas, podrían ser seis y cuatro, pero también tres y siete, o diez y cero. Necesitamos otra pista: las patas. Cada gallina tiene dos patas, y cada vaca tiene cuatro. Así que dos por las gallinas, más cuatro por las vacas, es igual a veintiocho.

Ahora tenemos dos balanzas que se tienen que cumplir al mismo tiempo. Eso es un sistema de ecuaciones: varias pistas sobre las mismas incógnitas. Y una regla muy útil: casi siempre necesitas tantas pistas como incógnitas. Dos incógnitas, dos pistas.

Dos líneas que se cruzan ▶ 02:16

Ahora vamos a dibujar el acertijo. Pon las gallinas en el eje de abajo, y las vacas en el eje de la izquierda. Cada punto del plano es una granja posible. La primera pista dice que las gallinas más las vacas dan diez.

¿Qué puntos cumplen esa pista? Diez y cero, nueve y uno, ocho y dos. ¡Todos caen en una línea recta! Por eso se llaman ecuaciones lineales.

Ahora la segunda pista, la de las patas. Cero gallinas y siete vacas dan veintiocho patas. Catorce gallinas y cero vacas, también. Y todos esos puntos forman otra línea.

Cada línea es una lista de granjas posibles para una sola pista. Pero nosotros queremos la granja que cumpla las dos pistas a la vez. ¿Dónde están los puntos que viven en las dos líneas? Justo donde se cruzan.

Y se cruzan en seis gallinas y cuatro vacas. La solución es el punto donde las líneas se cruzan. Compruébalo: seis más cuatro, diez cabezas. Doce patas de gallina, más dieciséis de vaca, veintiocho patas.

Tres finales posibles ▶ 03:38

Pero dos líneas no siempre se cruzan en un solo punto. Hay tres finales posibles. Final uno: las líneas se cruzan una vez. Hay una sola solución, como en nuestra granja.

Final dos: las líneas son paralelas, como las vías del tren, y nunca se tocan. Por ejemplo, una pista dice que hay diez cabezas, y otra dice que hay doce cabezas. Las dos no pueden ser verdad, así que no hay ninguna solución. Final tres: las dos pistas son la misma línea.

Si una dice diez cabezas, y la otra dice veinte ojos, en realidad es la misma pista dicha de otra forma. Hay infinitas soluciones. ¿Y cómo sabemos qué final nos toca, sin dibujar? ¿Te acuerdas del determinante de la lección dos?

Si el determinante no es cero, las líneas se cruzan en un solo punto. Si el determinante es cero, el plano se aplasta, y las líneas son paralelas o son la misma. En la granja, el determinante es uno por cuatro, menos uno por dos. Cuatro menos dos, dos.

No es cero, así que hay una sola respuesta.

La máquina A·x = b ▶ 04:59

Ahora viene la parte bonita: escribir el sistema como una matriz. Mira solo los números que acompañan a las incógnitas. En la primera pista, uno y uno. En la segunda, dos y cuatro.

Ponlos en una tabla: uno y uno arriba, dos y cuatro abajo. Esa es la matriz A, la máquina. Las incógnitas van en una columna que llamamos equis, con las gallinas arriba y las vacas abajo. Y lo que contamos va en otra columna que llamamos be, con diez arriba y veintiocho abajo.

Todo el sistema cabe en una sola línea: A por equis es igual a be. Piénsalo como una máquina. Si metes una granja, la máquina te dice cuántas cabezas y cuántas patas tiene. Por ejemplo, metes seis y cuatro.

Fila de arriba: uno por seis, más uno por cuatro, diez. Fila de abajo: dos por seis, más cuatro por cuatro, veintiocho. Pero nuestro problema es al revés. Sabemos lo que salió de la máquina, y queremos saber qué entró.

Y para ir al revés, ya tenemos un botón de deshacer.

Resolver con la inversa ▶ 06:16

Usemos la inversa de la lección tres. Si A por equis es be, entonces equis es la inversa de A, por be. Deshacemos la máquina. Intercambiamos el uno y el cuatro, así que el cuatro va arriba a la izquierda, y el uno abajo a la derecha.

Y cambiamos signos: menos uno arriba, y menos dos abajo. El determinante era dos, así que dividimos todo entre dos. Arriba quedan dos y menos un medio. Abajo quedan menos uno y un medio.

Ahora multiplica por lo que contamos, diez y veintiocho. Arriba: dos por diez, veinte, menos la mitad de veintiocho, catorce. Veinte menos catorce, seis. En la fila de abajo, menos diez, más la mitad de veintiocho, catorce.

Menos diez más catorce, cuatro. ¡Seis gallinas y cuatro vacas! Igual que en el dibujo. Y si metemos la respuesta otra vez en la máquina, salen diez cabezas y veintiocho patas.

La inversa funciona muy bien con dos incógnitas. Pero cuando hay muchas, hay un camino más directo.

Eliminación: borrar una incógnita ▶ 07:37

Ahora volvamos a las balanzas. ¿Qué cosas puedes hacer con una balanza sin que se desequilibre? Puedes duplicar todo lo que hay en los dos platos, y sigue en equilibrio. Y puedes restar una balanza de otra, plato con plato.

El resultado también queda en equilibrio. Estos movimientos se llaman operaciones de fila, porque cada balanza es una fila de la matriz. La idea es usarlas para borrar una incógnita. Toma la primera pista, gallinas más vacas igual a diez, y duplícala.

Dos gallinas, más dos vacas, igual a veinte. Ahora réstala de la pista de las patas. Las gallinas se cancelan, porque dos menos dos es cero. Y queda una balanza con una sola incógnita: dos vacas son igual a ocho, así que hay cuatro vacas.

Y si hay cuatro vacas y diez cabezas, hay seis gallinas. Sin inversa y sin fracciones, solo restando balanzas. Esto se llama eliminación, porque eliminamos una incógnita. Atención, dato curioso: este método lleva el nombre de Gauss, pero ya aparece en un libro chino muy antiguo, Los nueve capítulos, con partes escritas hace más de dos mil años.

La escalera de tres por tres ▶ 09:03

¿Y si hay tres incógnitas? Ahora cada pista ya no es una línea, sino un plano. La solución es el punto donde se cruzan los tres planos. Dibujarlo es difícil, pero la eliminación funciona igual.

Mira esta matriz de tres por tres, con las respuestas a la derecha. Paso uno: usa la primera fila para borrar la primera incógnita de las filas de abajo. Aparecen ceros en la primera columna. Paso dos: usa la segunda fila para borrar la segunda incógnita de la última fila.

Aparece otro cero. Mira la forma que quedó: los ceros forman una escalera. Por eso se llama forma escalonada. La última fila tiene una sola incógnita.

Dice que siete veces la última incógnita es veintiuno, así que vale tres. Y subimos la escalera. Con zeta, sacamos la de arriba, y con esas dos, la primera. Los tres números salen uno, dos y tres.

Soy una computadora. Así resuelvo los sistemas: elimino, armo la escalera, y subo de regreso. Como vimos en la lección tres, las computadoras casi nunca calculan la inversa completa. Hacen esta escalera, porque es más rápida y más precisa, aunque haya miles de incógnitas.

El mundo real y la IA ▶ 10:31

¿Y dónde aparecen los sistemas de ecuaciones en la vida real? En todas partes. Empecemos con el GPS de tu teléfono. Varios satélites le mandan señales, y cada señal es una pista: a qué distancia estás de ese satélite.

Con las pistas de al menos cuatro satélites, el teléfono arma un sistema, y encuentra el punto donde todas coinciden. Ese punto eres tú. Otro ejemplo es mezclar pintura. Quieres un color exacto, y tienes tres botes.

¿Cuánto pones de cada uno? Cada parte del color da una ecuación, y el sistema te da la receta. Con los circuitos pasa igual. En cada cruce de cables, la corriente que entra es igual a la que sale.

Y en la inteligencia artificial hay un truco muy famoso. Tienes muchos puntos, y quieres la línea recta que pase lo más cerca posible de todos. Pero hay más puntos que incógnitas, así que la línea no puede tocarlos todos. Hay más pistas de las que caben.

Entonces buscamos la línea que se equivoque lo menos posible. Eso se llama mínimos cuadrados, y al final también se resuelve con un sistema de ecuaciones. Es el modelo más sencillo de inteligencia artificial: aprende de los datos para predecir.

Repaso ▶ 12:00

Repasemos. Uno: una ecuación es una balanza, y un sistema son varias pistas sobre las mismas incógnitas. Dos: cada ecuación es una línea, y la solución es el punto donde las líneas se cruzan. Tres: si el determinante no es cero, hay una sola solución, y si es cero, no hay ninguna o hay infinitas.

Cuatro: todo el sistema cabe en A por equis igual a be, y se puede resolver con la inversa. Y cinco: la eliminación borra las incógnitas una por una hasta formar una escalera, y así resuelven las computadoras. Te dejo un acertijo para pensar. En otra granja hay ocho cabezas y veinte patas.

¿Cuántas gallinas y cuántas vacas hay? En la próxima lección vamos a conocer unas direcciones muy especiales: los eigenvalores y los eigenvectores. Son las direcciones que una matriz no tuerce, solo las estira. Gracias por aprender conmigo.

Nos vemos en la lección cinco.