La matriz inversa

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Introducción: el botón de deshacer ▶ 00:00

En la lección dos descubrimos un número muy especial: el determinante. Y vimos que, cuando el determinante es cero, todo se aplasta, y el movimiento ya no se puede deshacer. Hoy te traigo un acertijo. Imagina que una matriz movió tu foto: la estiró y la giró.

¿Existe otra matriz que la devuelva exactamente a como estaba? Piensa en el botón de deshacer de tu teléfono. Escribes algo, te equivocas, y con un solo toque todo vuelve atrás. Las matrices también tienen ese botón, y tiene nombre.

Se llama la matriz inversa. Hoy vamos a ver qué es, cómo se calcula con una receta de tres pasos, por qué a veces no existe, y cómo resuelve acertijos de la vida real. Así que prepárate, porque vamos a empezar.

Deshacer un número ▶ 00:58

Empecemos con algo más fácil que una matriz: un número. Si multiplicas por dos, todo se duplica, y el tres se vuelve seis. ¿Con qué número lo deshaces? Con un medio: seis por un medio, tres otra vez.

Volvimos al principio. Fíjate que dos por un medio da uno. Y multiplicar por uno es no hacer nada. Por eso decimos que un medio es el inverso de dos.

Lo mismo pasa con casi cualquier número. El inverso de tres es un tercio, y el inverso de diez es un décimo. Siempre buscas el número que, al multiplicar, te devuelve al uno. Ahora, ¿cuál es el uno de las matrices?

¿Te acuerdas de la lección uno? Es la matriz identidad, con unos en la diagonal y ceros en todo lo demás. Esa es la matriz que no hace nada, porque la foto se queda exactamente igual. Así que la matriz inversa es la matriz que, multiplicada por la original, te da la identidad.

Una hace el movimiento, la otra lo deshace, y juntas es como si no hubiera pasado nada.

Ida y vuelta ▶ 02:13

Veamos esto con nuestra foto. Primero, una matriz que gira la foto cuarenta y cinco grados. ¿Y cómo la regresas a su lugar? Fácil, con la matriz que gira cuarenta y cinco grados en el sentido contrario.

Una gira, la otra desgira, y la foto vuelve a su lugar. Ahora, una matriz que estira la foto al doble a lo ancho. Para deshacerla, la encogemos a la mitad a lo ancho. Dos por un medio, otra vez uno.

¿Y si la matriz hace las dos cosas a la vez, gira y estira? Entonces el botón de deshacer también tiene que hacer las dos cosas, pero al revés. Mira la cuadrícula. La matriz la deforma, y la inversa la devuelve, línea por línea, a su forma original.

Cada punto regresa exactamente a donde estaba. Esa es la clave: la inversa no inventa nada nuevo. Solo recorre el mismo camino, pero de regreso.

La receta de dos por dos ▶ 03:17

Bueno, ¿y cómo se calcula la inversa sin dibujar? Para una matriz de dos por dos, hay una receta de tres pasos. Llamemos a sus números a y be arriba, ce y de abajo, igual que en la lección dos. Paso uno: intercambia a y de.

Los números de la diagonal que baja cambian de lugar. Paso dos: a be y a ce les cambias el signo. Si eran positivos, se vuelven negativos, pero no se mueven de su sitio. Paso tres: divide todo entre el determinante.

¿Te acuerdas de la cruz? Es a por de, menos be por ce. Eso es todo: intercambiar, cambiar signos, y dividir. Es como una receta de cocina, siempre con los mismos tres pasos.

¿Y por qué funciona? Los dos primeros pasos arman una matriz que, multiplicada por la original, te da casi la identidad, pero con el determinante en la diagonal. Y el tercer paso lo arregla dividiendo.

Probemos la receta ▶ 04:27

Probemos con números: arriba dos y uno, abajo dos y tres. Primero, el determinante, con la cruz. Dos por tres, seis, y uno por dos, dos. Seis menos dos, cuatro.

Ahora haz tú los dos primeros pasos. Pausa el video si quieres, y piensa qué matriz te sale. Intercambiamos el dos y el tres, así que el tres va arriba a la izquierda, y el dos abajo a la derecha. Y cambiamos el signo de los otros dos: menos uno arriba, y menos dos abajo.

Paso tres: dividimos todo entre cuatro. Arriba quedan tres cuartos y menos un cuarto. Abajo quedan menos un medio y un medio. ¿Pero funcionó de verdad?

Vamos a comprobarlo multiplicando. Para no pelear con fracciones, primero multiplica por la matriz sin dividir. La fila de arriba por la primera columna: dos por tres, más uno por menos dos. Seis menos dos, cuatro.

Y si haces todas las cuentas, te sale cuatro y cero arriba, cero y cuatro abajo. Ahora divide todo entre cuatro, y te queda uno y cero, cero y uno. ¡Es la identidad! La receta funcionó.

Cuando no hay vuelta atrás ▶ 05:50

Ahora, mira otra vez el paso tres: dividir entre el determinante. ¿Qué pasa si el determinante es cero? No se puede dividir entre cero. Ni tú, ni yo, ni la calculadora más poderosa del mundo.

Y esto no es solo una regla de la escuela, tiene una razón muy visual. Acuérdate de la lección dos: cuando el determinante es cero, toda la cuadrícula se aplasta sobre una sola línea. Prueba con esta: arriba dos y cuatro, abajo uno y dos. La cruz da cuatro menos cuatro, cero.

Y todo el plano termina en una línea. Muchos puntos distintos caen en el mismo lugar. Si yo te muestro un punto de la línea, tú no puedes saber de cuál de todos esos puntos vino. Es como un huevo revuelto.

Una vez que lo revuelves, ya no puedes separar otra vez la clara y la yema. Por eso decimos que una matriz con determinante cero no tiene inversa, no tiene botón de deshacer. Y cualquier otra matriz, aunque su determinante sea muy pequeñito, sí lo tiene.

Calcetines y zapatos ▶ 07:03

Ahora, un juego rápido. Si aplicas una matriz y después otra, ¿cómo deshaces las dos? Piensa en lo que haces cada mañana. Primero te pones los calcetines, y después los zapatos.

En la noche, ¿qué te quitas primero? ¡Los zapatos, claro! No puedes quitarte los calcetines con los zapatos puestos. Deshaces todo en el orden contrario.

Con las matrices pasa exactamente lo mismo. Si primero giras la foto y después la estiras, para regresar primero quitas el estiramiento, y después quitas el giro. La regla dice que la inversa de un producto es el producto de las inversas, pero al revés. El último paso que hiciste es el primero que deshaces.

Atención, dato curioso: con las matrices, el orden casi siempre importa, y girar y luego estirar no da lo mismo que estirar y luego girar. Por eso hay que tener cuidado con el orden al deshacer. Si te equivocas de orden, la foto no vuelve a su lugar.

El acertijo de los recibos ▶ 08:14

Ahora usemos la inversa para resolver un misterio. Fuiste dos veces al mercado, pero perdiste la lista de precios, y solo tienes dos recibos. Recibo uno: dos manzanas y un pan, cuatro dólares. Recibo dos: una manzana y un pan, tres dólares.

¿Cuánto cuesta cada cosa? Pon las cantidades en una matriz: dos y uno arriba, uno y uno abajo. Esa matriz toma los precios secretos y te da los totales de los recibos. Así que, para encontrar los precios, deshacemos con la inversa.

La cruz da dos menos uno, uno. ¡Qué suerte, no hay que dividir! Intercambia y cambia signos: uno y menos uno arriba, menos uno y dos abajo. Ahora multiplica por los totales, cuatro y tres.

Arriba, cuatro menos tres, uno. Abajo, menos cuatro más seis, dos. ¡La manzana cuesta un dólar y el pan cuesta dos! Compruébalo: dos manzanas y un pan son dos más dos, cuatro dólares.

Esto se llama un sistema de ecuaciones, y es justo el tema de la próxima lección.

El mundo real y la IA ▶ 09:41

¿Y dónde se usa esto en la vida real? En los videojuegos, la cámara se mueve, gira y se acerca con matrices. Cuando tocas la pantalla, el juego usa la inversa para saber qué tocaste en el mundo del juego. También sirve para mensajes secretos.

Conviertes las letras en números y los mezclas con una matriz. Solo quien tiene la inversa puede volver a leer el mensaje. Y en la inteligencia artificial, las matrices están por todas partes, transformando datos una y otra vez. Pero aquí viene una sorpresa.

Soy una computadora. Casi nunca calculo la inversa completa, porque resolver el problema directamente es más rápido y más preciso. Es como cuando te preguntan cuánto es doce entre cuatro. No calculas primero un cuarto para luego multiplicar, simplemente divides.

Calcular toda la inversa es más trabajo, y con millones de números se acumulan pequeños errores de redondeo. Por eso los programas prefieren resolver, en vez de invertir. Pero la idea de fondo sigue siendo la misma: el botón de deshacer.

Repaso ▶ 10:56

Repasemos. Uno: la matriz inversa es el botón de deshacer, y multiplicada por la original te da la identidad, la matriz que no hace nada. Dos: para una de dos por dos, intercambia a y de, cambia el signo de be y ce, y divide entre el determinante. Tres: si el determinante es cero, no hay inversa, porque lo aplastado no se puede desaplastar.

Cuatro: para deshacer dos pasos, se deshacen en orden contrario, como los zapatos y los calcetines. Y cinco: con la inversa puedes resolver acertijos, como los precios escondidos en dos recibos. Te dejo una pregunta para pensar. ¿Cuál es la inversa de la matriz identidad?

En la próxima lección vamos a resolver sistemas de ecuaciones, con más incógnitas y más recibos misteriosos. Gracias por aprender conmigo. Nos vemos en la lección cuatro.