Lección 2: El determinante — Matrices: explicado fácil

¿No carga? Ver en YouTube · Lista completa

Apuntes de clase

1. Qué mide el determinante

Pon un cuadrito de área 1 en la cuadrícula (una baldosa). La matriz $[3002]$ lo estira 3 veces a lo ancho y 2 a lo alto: queda un rectángulo de 3 × 2, de área 6.

Toda la cuadrícula se estira igual, así que cualquier figura crece 6 veces. Ese 6 es el determinante.

El determinante dice cuántas veces crece el área. Si es 2, se duplica; si es

\frac{1}{2}

, se encoge a la mitad.

Con matrices inclinadas el cuadrito se vuelve un paralelogramo, pero la pregunta es la misma: ¿cuántas baldosas caben ahora?

2. El truco de la cruz (2 × 2)

det [a c b d] = a \cdot d - b \cdot c

Diagonal que baja menos diagonal que sube. Ejemplos de la lección:

Matriz	Cruz	det	Qué significa
$[3002]$	$3 \cdot 2 - 0 \cdot 0$	6	El área crece 6 veces.
$[2113]$	$2 \cdot 3 - 1 \cdot 1$	5	Crece 5 veces.
$[1011]$	$1 \cdot 1 - 1 \cdot 0$	1	Inclina (como una baraja), pero el área no cambia.
$[01 - 1 0]$	$0 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1$	1	Girar no cambia el tamaño.
$[1324]$	$1 \cdot 4 - 2 \cdot 3$	−2	Tamaño 2, pero en espejo.
$[2142]$	$2 \cdot 2 - 4 \cdot 1$	0	Todo se aplasta en una línea.

3. El signo menos: el espejo

Un determinante negativo no es un "área negativa". Da dos noticias: el tamaño (el número sin signo) dice cuánto creció el área, y el signo dice si la figura sigue derecha (+) o quedó en espejo (−), como un guante derecho al que le das la vuelta y se vuelve izquierdo. La letra F queda reflejada.

4. Cero: todo aplastado

Si $det A = 0$ , todo el plano se aplasta sobre una línea (o un punto). Muchos puntos distintos caen en el mismo lugar: se pierde información, como una sombra. Por eso el movimiento no se puede deshacer. Si el determinante es cualquier otro número, por pequeño que sea, sí se puede (eso es la matriz inversa, lección 3).

5. Dos matrices seguidas

$[2002]$ tiene det 4 y $[3001]$ tiene det 3. Las dos seguidas agrandan el área $4 \cdot 3 = 12$ veces.

det (A B) = det (A) \cdot det (B)

Los estiramientos se multiplican. Si en algún paso hay un cero, el total es cero.

6. En tres dimensiones

Con 3 × 3, el determinante dice cuánto crece el volumen: cuántos dados de lado 1 caben en la caja inclinada. Con 2, 2, 2 en la diagonal y ceros en lo demás: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

A mano se usa la regla de Sarrus: copias las dos primeras columnas al lado, sumas tres diagonales que bajan y restas tres que suben:

det a d g b e h c f i = a e i + b f g + c d h - ce g - b d i - a f h

7. Dónde se usa

Videojuegos: el signo de un determinante dice si un triángulo te mira o te da la espalda (y así no se dibuja lo que no ves).
Física: si un pedacito de fluido se expandió o se comprimió.
Ecuaciones: si el det no es cero hay una sola respuesta; si es cero, ninguna o infinitas.
IA: los flujos normalizantes llevan la cuenta del determinante en cada paso para que la probabilidad total siga sumando 1.

Respuesta al reto del video

Determinante 2 aplicado 10 veces: $2^{10} = 1024$ . El área crece 1024 veces.

Lo que debes memorizar

$det [a c b d] = a d - b c$ (la cruz).
$∣ det A ∣$ = cuántas veces crece el área (en 3D, el volumen).
$det A < 0$ : la figura queda en espejo.
$det A = 0$ : todo se aplasta y no se puede deshacer.
$det (A B) = det A \cdot det B$ .
Girar e inclinar (cizalla) no cambian el área: det = 1.
Diagonal con ceros afuera: det = producto de la diagonal.

Lección completa

El texto completo de la narración del video, ordenado por capítulos. Toca ▶ para ver esa parte.

Introducción: un solo número

En la lección uno vimos que una matriz puede mover una foto: estirarla, voltearla y girarla, con solo cuatro números. Hoy te traigo un acertijo. Imagina que no te dejo ver la foto. Solo te dejo ver un número.

Uno solo. Con ese único número, tú vas a saber cuánto creció la foto, si quedó al revés como en un espejo, o si quedó aplastada, plana como una línea. ¿Te parece imposible? Ese número existe, y tiene nombre.

Se llama el determinante. Hoy vamos a descubrir qué significa, cómo se calcula en diez segundos con un truco en forma de cruz, y por qué lo usan los videojuegos, los físicos y hasta la inteligencia artificial. ¿Listo? Vamos.

¿Cuánto crece el área?

Volvamos a nuestra cuadrícula, la misma de la lección uno. Ahí pongo un cuadrito pequeño, de un lado de ancho y un lado de alto. Su área es uno. Piensa en él como una baldosa del piso.

Ahora aplico esta matriz: tres y cero arriba, cero y dos abajo. ¿Qué crees que le pasa a la baldosa? Se estira tres veces a lo ancho y dos veces a lo alto. Ya no es un cuadrito.

Es un rectángulo de tres por dos. Y su área es seis. Aquí está la idea más importante de toda la lección. Fíjate que no solo cambia la baldosa.

Toda la cuadrícula se estira igual. Cualquier figura que dibujes, una casita, un círculo, o tu nombre, crece exactamente seis veces. Ese seis es el determinante. El determinante es el número que te dice cuántas veces crece el área.

Si es dos, el área se duplica. Si es un medio, se encoge a la mitad. Con matrices más inclinadas, el cuadrito no se vuelve un rectángulo, sino un paralelogramo, como un rectángulo empujado de lado. Pero la pregunta sigue siendo la misma: ¿cuántas baldosas caben ahora?

Esa es la respuesta del determinante.

El truco de la cruz

Bueno, ¿y cómo se calcula sin dibujar? Con un truco que parece magia. Toma una matriz de dos por dos. Vamos a llamar a sus números a y be arriba, y ce y de abajo.

Ahora dibuja una cruz. Primero multiplicas la diagonal que baja: a por de. Después multiplicas la diagonal que sube: be por ce. Y restas: a por de, menos be por ce.

Eso es todo. Una cruz, dos multiplicaciones y una resta. Probemos con la matriz de antes: tres y cero, cero y dos. La diagonal que baja: tres por dos, seis.

La que sube: cero por cero, cero. Seis menos cero, seis. ¡El mismo seis que contamos con las baldosas! Ahora te toca a ti.

Arriba dos y uno, abajo uno y tres. Pausa el video si quieres, y haz la cruz. Dos por tres, seis. Uno por uno, uno.

Seis menos uno, cinco. El área crece cinco veces. Otra más, con trampa. Arriba uno y uno, abajo cero y uno.

Esta matriz empuja la cuadrícula de lado, como cuando empujas una baraja de cartas. ¿Crece el área? Uno por uno, uno. Uno por cero, cero.

Uno menos cero, uno. ¡No crece nada! La figura se inclina, pero su área queda igual, como la baraja: las cartas siguen siendo las mismas. Y la matriz que gira la foto, la de la lección uno: cero y menos uno arriba, uno y cero abajo.

La cruz da uno. Girar no cambia el tamaño. Tiene sentido, ¿verdad?

El signo menos: el espejo

Ahora, una pregunta con truco. Toma esta matriz: uno y dos arriba, tres y cuatro abajo. Haz la cruz. Uno por cuatro, cuatro.

Dos por tres, seis. Cuatro menos seis... ¡menos dos! ¿Un área negativa?

¿Cómo puede una figura medir menos dos baldosas? Aquí está el secreto. El tamaño es dos. El signo menos es un mensaje aparte: te dice que la figura quedó volteada, como en un espejo.

Piensa en un guante. Si le das la vuelta a un guante derecho, de adentro hacia afuera, se convierte en un guante izquierdo. Sigue siendo del mismo tamaño, pero ahora está al revés. Mira la letra efe.

Después de esta matriz, la efe aparece reflejada, como cuando la ves en un espejo. Puedes darle vueltas todo lo que quieras, pero nunca vuelve a quedar derecha sin otro espejo. Así que el determinante te da dos noticias en un solo número. El tamaño te dice cuánto creció el área.

Y el signo te dice si la foto sigue derecha, cuando es positivo, o si quedó en espejo, cuando es negativo.

Cero: todo aplastado

¿Y si el determinante es cero? Prueba esta: arriba dos y cuatro, abajo uno y dos. La cruz: dos por dos, cuatro. Cuatro por uno, cuatro.

Cuatro menos cuatro... cero. Mira lo que pasa. Toda la cuadrícula, todo el plano, se aplasta sobre una sola línea. El cuadrito ya no tiene área, porque quedó plano.

Es como pisar una lata: lo que antes tenía volumen, ahora es un disco. Y aquí viene lo importante: se perdió información. Muchos puntos distintos terminaron en el mismo lugar de la línea. Si yo solo te enseño dónde cayeron, tú no puedes saber de dónde vino cada uno.

Es como una sombra. Con la sombra de tu mano puedes hacer un perro o un conejo, pero la sombra sola no te dice cómo estaban tus dedos. Por eso, cuando el determinante es cero, el movimiento no se puede deshacer. No hay botón de regresar.

Y si es cualquier otro número, por pequeño que sea, sí se puede. Ese botón de deshacer tiene nombre: la matriz inversa. Y es el tema de la próxima lección.

Dos zooms seguidos

Ahora, un juego rápido. Si aplico una matriz, y después otra, ¿qué pasa con el área? La primera agranda todo al doble: dos y cero, cero y dos. Su determinante es cuatro.

El área crece cuatro veces. La segunda estira solo a lo ancho: tres y cero, cero y uno. Su determinante es tres. Si haces las dos seguidas, ¿cuánto crece el área en total?

Haz tu apuesta. ¡Doce! Cuatro por tres. Es como hacer zoom dos veces en tu teléfono.

Si el primer zoom agranda cuatro veces y el segundo tres veces, al final ves todo doce veces más grande. Esa es la regla: el determinante de un producto es el producto de los determinantes. Suena complicado, pero solo dice esto: los estiramientos se multiplican. Y fíjate en algo bonito.

Si en cualquier paso hay un cero, todo el resultado es cero. Una vez que aplastas la lata, no hay zoom que la recupere.

En tres dimensiones

¿Y en tres dimensiones? Con matrices de tres por tres, la idea es la misma, pero ahora, en vez de baldosas, hablamos de cajas. Empieza con un cubito de lado uno, como un dado. Su volumen es uno.

Una matriz de tres por tres lo convierte en una caja inclinada, como un dado aplastado de lado. Y el determinante te dice cuántos dados caben ahora en esa caja. Si la matriz tiene dos, dos y dos en la diagonal, y ceros en todo lo demás, el cubo se estira al doble en las tres direcciones. ¿Cuántos dados caben?

Ocho. Dos por dos por dos. Para calcularlo a mano existe un truco que se llama la regla de Sarrus. Copias las dos primeras columnas al lado, sumas tres diagonales que bajan, y restas tres diagonales que suben.

Es la misma cruz, pero más grande. No te preocupes por memorizarla: hoy en día lo hace la computadora. Lo importante es la idea: un número que mide cuánto crece el volumen, si se voltea, o si se aplasta hasta quedar plano.

El mundo real y la IA

¿Y para qué sirve todo esto en la vida real? En los videojuegos, la tarjeta gráfica dibuja millones de triangulitos. Con el signo de un determinante, sabe si cada triángulo te está mirando o te da la espalda, y no pierde tiempo dibujando los que no ves. En física, cuando el aire o el agua se mueven, el determinante dice si un pedacito de fluido se expandió o se comprimió.

Y cuando tienes varias ecuaciones con varias incógnitas, el determinante te avisa antes de empezar. Si no es cero, hay una sola respuesta. Si es cero, o no hay respuesta, o hay infinitas. Dato curioso: los matemáticos usaban esta cuenta para resolver ecuaciones más de ciento cincuenta años antes de que existiera la palabra matriz.

¿Y la inteligencia artificial? Hay modelos que crean imágenes nuevas estirando y doblando el espacio, paso a paso. Se llaman flujos normalizantes. Soy una computadora.

Cada paso que doy estira el espacio, y llevo la cuenta de su determinante. ¿Por qué? Piensa en masa de pan. Si la estiras al doble, se pone el doble de delgada.

El determinante le dice al modelo cuánto se estiró cada parte, para que la probabilidad total siga sumando uno, sin inventar ni perder nada.

Repaso

Repasemos. Uno: el determinante es un solo número que te dice cuántas veces crece el área, o el volumen. Dos: en una matriz de dos por dos, se calcula con la cruz: a por de, menos be por ce. Tres: si es negativo, la figura quedó en espejo, como el guante al revés.

Cuatro: si es cero, todo se aplasta en una línea, y no se puede deshacer. Cinco: si haces dos matrices seguidas, sus determinantes se multiplican. Y seis: en tres dimensiones, mide el volumen de una caja. Te dejo una pregunta para pensar.

Si una matriz tiene determinante dos, y la aplicas diez veces seguidas, ¿cuánto crece el área? En la próxima lección vamos a construir el botón de deshacer: la matriz inversa. Y vas a ver por qué el determinante es la llave que lo abre. Gracias por aprender conmigo.

Nos vemos en la lección tres.

Examen de la lección 2

12 preguntas. Al calificar verás tu nota y la explicación de cada respuesta. Tu mejor nota se guarda en este dispositivo.

1. Calcula $det [3002]$ .